Задача 10150188 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 12}{x^{2} - 4 x} \leq 2 x - \frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x}

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² − 4x = x(x − 4). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

x^{2} - 4 x = x (x - 4)

{\begin{matrix} x (x - 4) \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 4 \\ x \neq 2 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x − 4)(x − 2). Первое слагаемое домножаем на (x − 2), второе (−2x) — на x(x − 4)(x − 2), третье (+1/(x − 2)) — на x(x − 4), четвёртое (−3/x) — на (x − 4)(x − 2).

\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 12}{x (x - 4)} - 2 x + \frac{1}{x - 2} - \frac{3}{x} \leq 0

\frac{(2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 12) (x - 2)}{x (x - 4) (x - 2)} - \frac{2 x \cdot x (x - 4) (x - 2)}{x (x - 4) (x - 2)} +

+ \frac{x (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} - \frac{3 (x - 4) (x - 2)}{x (x - 4) (x - 2)} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Собираем числитель в одну дробь, раскрываем каждое произведение и приводим подобные. Старшие степени x⁴ и x³ взаимно уничтожаются, свободный член — тоже.

(2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 12) (x - 2) - 2 x^{2} (x - 4) (x - 2) -

+ x (x - 4) - 3 (x - 4) (x - 2) =

= 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x - 12 x + 24 -

- 2 x^{4} + 12 x^{3} - 16 x^{2} + x^{2} - 4 x - 3 x^{2} + 18 x - 24 =

= 2 x^{2} - 6 x = 2 x (x - 3)

\frac{2 x (x - 3)}{x (x - 4) (x - 2)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 0 (выколота — корень четной кратности → петелька, знак не меняется), 2 (выколота — точка разрыва), 3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 4 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 10: 2·10·7/(10·6·8) > 0, значит на (4; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем числителя 3; точки 0, 2, 4 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup [3; 4)