условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Заменяем 1/(3 − x) на −1/(x − 3), переносим 1 влево и приводим к общему знаменателю (x + 1)(x − 3).
шаг 3.Корни числителя
Числитель — квадратный трёхчлен. Узнаём в нём полный квадрат с коэффициентом −1.
Полный квадрат: a² − 2ab + b² = (a − b)² с a = x, b = 1. Единственный корень x = 1 — кратности 2: знак выражения через эту точку не меняется (отметим петелькой на оси интервалов).
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: x = 1 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется); закрашена, в ответе появится изолированной точкой (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: −1, 3 — выколоты.
Пробная точка x = 0 на интервале (−1; 3): подставляем в −(x − 1)²/((x + 1)(x − 3)) и получаем −1/((1)·(−3)) = 1/3 > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корень x = 1 чётной кратности знак не меняется (петелька), через выколотые точки −1 и 3 знаки чередуются. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» плюс изолированная точка x = 1, где числитель обращается в ноль.