шаг 1.Область допустимых значений

Степень −1 в правой части прячет ещё один знаменатель: x⁻¹ = 1/x. Знаменатель 2x² + 12 строго положителен при любом x, поэтому ограничение даёт только x в правой части.

2x² + 12 ≥ 12 > 0 при любом x — первое условие выполняется автоматически. Остаётся только x ≠ 0 от множителя x⁻¹ в правой части.

шаг 2.Приводим к общему знаменателю

Перепишем x⁻¹ = 1/x и заметим, что 2x² + 12 = 2(x² + 6). Переносим всё влево, общий знаменатель — 2x(x² + 6).

шаг 3.Анализ числителя

Вынесем минус — станет видно, что в скобке строго положительное выражение. Корней у числителя нет, его знак фиксирован.

29x² ≥ 0 при любом x, значит 29x² + 180 ≥ 180 > 0. Числитель −(29x² + 180) строго отрицателен — корней нет, знак всей дроби зависит только от знаменателя.

шаг 4.Метод интервалов

Множители 2 и x² + 6 положительны при любом x, числитель −(29x² + 180) строго отрицателен. Остаётся отношение «отрицательная константа / x» — знак противоположен знаку x. Точка разрыва 0 выколота.

Пробная точка x = 1 на интервале (0; +∞): подставляем в −(29x² + 180)/(2x(x² + 6)) и получаем −209/14 < 0, значит знак «−». Других корней или точек разрыва нет — знак меняется только в выколотой точке 0. Решением ≤ 0 будет интервал со знаком «−».