условие

2x+1−21x+39x2+x−2≥−1x+2

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2).

ОДЗ
{x2+x−2≠0x+2≠0⟺{(x−1)(x+2)≠0x+2≠0⟺{x≠1x≠−2

Корни x² + x − 2 подбираем устно по теореме Виета: произведение −2, сумма −1 → −2 и 1.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 1)(x + 2). Первое слагаемое домножаем на (x − 1)(x + 2), второе уже с нужным знаменателем, третье — на (x − 1).

2x+1−21x+39(x−1)(x+2)+1x+2≥0
(2x+1)(x−1)(x+2)−(21x+39)+(x−1)(x−1)(x+2)≥0

шаг 3.Раскрываем числитель

Числитель — сумма трёх слагаемых: первое (2x + 1) домножено на (x − 1)(x + 2), у второго знаменатель уже был общий, третье (1) — на (x − 1).

(2x+1)(x−1)(x+2)−(21x+39)+(x−1)=
=(2x3+3x2−3x−2)−(21x+39)+(x−1)=
=2x3+3x2+(−3−21+1)x+(−2−39−1)=
=2x3+3x2−23x−42
2x3+3x2−23x−42(x−1)(x+2)≥0

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не сходится, поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена −42. Подходит x = −2: его и нужно вынести, тогда (x + 2) сократится со знаменателем.

Дальше делим многочлен на (x + 2) столбиком — это даст квадратный трёхчлен в частном (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера Схема Горнера
Компактный способ поделить многочлен на (x−r). Все вычисления укладываются в две строки: сверху — коэффициенты делимого, снизу — коэффициенты частного и остаток.
Алгоритм:
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху +r⋅ (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он 0, деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
Применим к 2x3+3x2−23x−42 и r=−2. Коэффициенты сверху: 2,3,−23,−42.
        │   2     3    −23    −42
   r=−2 │   2    −1    −21      0
Считаем по шагам:
— сносим 2;
3+(−2)⋅2=−1;
−23+(−2)⋅(−1)=−21;
−42+(−2)⋅(−21)=0 — остаток ноль.
Нижняя строка 2,−1,−21,0 — это коэффициенты частного 2x2−x−21 и остаток 0. Тот же ответ, что и при делении столбиком.
, результат тот же).
P(x)=2x3+3x2−23x−42
P(−2)=2⋅(−2)3+3⋅(−2)2−23⋅(−2)−42=
=−16+12+46−42=0
по теореме Безу: (x−(−2))=(x+2) — множитель
Теорема Безу
Если число r — корень многочлена P(x) (то есть P(r)=0), то (x−r) — множитель P(x). Обратное тоже верно.
Как ищем r: перебираем делители свободного члена. У нас многочлен 2x3+3x2−23x−42 — свободный член −42, его делители: ±1,±2,±3,±6,±7,±14,±21,±42. Подставляем кандидата и проверяем, обращается ли многочлен в ноль.
В этой задаче «целевой» корень очевиден: в знаменателе уже стоит (x+2), и мы хотим его сократить — значит, в первую очередь проверяем r=−2. Если P(−2)=0, то (x+2) — множитель числителя.
−2x3+3x2−23x−42x+2−2x3+4x2−23x−422x2−x−21−2x3−x2−23x−422x3−−x2−2x−23x−42−2x3−x2−21x−422x3−x2−−21x−42−2x3−x2−21x0
2x3+3x2−23x−42=(x+2)(2x2−x−21)
Деление столбиком
Делим 2x3+3x2−23x−42 на (x+2). На каждом шаге смотрим на старший член текущего «остатка» и подбираем такой множитель к (x+2), чтобы старшие члены совпали. Это и есть очередной член частного.
1) На что умножить (x+2), чтобы получилось 2x3? На 2x2. Записываем 2x2 в частное и вычитаем 2x2⋅(x+2)=2x3+4x2. Остаётся −x2−23x−42.
2) На что умножить (x+2), чтобы получилось −x2? На −x. Дописываем −x в частное, вычитаем −x⋅(x+2)=−x2−2x. Остаётся −21x−42.
3) На что умножить (x+2), чтобы получилось −21x? На −21. Дописываем −21 в частное, вычитаем −21⋅(x+2)=−21x−42. Остаток 0 — деление точное.
В правом столбце собралось частное 2x2−x−21, значит 2x3+3x2−23x−42=(x+2)(2x2−x−21).
2x2−x−21=0
D=(−1)2−4⋅2⋅(−21)=1+168=169
x=1±1694=1±134=72=−3
2x2−x−21=2(x−72)(x+3)=(2x−7)(x+3)
2x3+3x2−23x−42=(x+2)(2x−7)(x+3)
(x+2)(2x−7)(x+3)(x−1)(x+2)≥0
(2x−7)(x+3)x−1≥0

Сокращение (x + 2) допустимо: x = −2 уже исключено ОДЗ — корень не теряем (точка −2 вернётся выколотой при пересечении с ОДЗ).

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя −3 и 7/2 закрашены (нестрогое ≥ 0). Точка разрыва 1 выколота. Точка x = −2 не входит в упрощённое выражение, но при пересечении с ОДЗ исходного выражения возвращается как выколотая.

−+−+неравенство3−1
72
−∞
+∞
x
ОДЗ2−1
−∞
+∞
x
пересечение3−2−1
72
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 4 на интервале (7/2; +∞): подставляем в (2x − 7)(x + 3)/(x − 1) и получаем (8 − 7)(4 + 3)/(4 − 1) = 7/3 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку −2.

ответ

x∈[−3;−2)∪(−2;1)∪[72;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -