Задача 10150172 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{{(x + 1)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2}}{2} \leq \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{4}

шаг 1.Раскрываем квадраты

Знаменатели обеих частей — числовые константы (2 и 4), ОДЗ — все действительные x.

{(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1

{(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1

4 {(x - 1)}^{2} = 4 x^{2} - 8 x + 4

{(3 x - 1)}^{2} = {(3 x)}^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 1 + 1^{2} = 9 x^{2} - 6 x + 1

{(x + 1)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2} =

= (x^{2} + 2 x + 1) + (4 x^{2} - 8 x + 4) =

= 5 x^{2} - 6 x + 5

Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b².

шаг 2.Приводим к виду полного квадрата

Подставляем найденные выражения и умножаем обе части на 4 (положительная константа, направление неравенства сохраняется), чтобы избавиться от дробных знаменателей.

\frac{5 x^{2} - 6 x + 5}{2} \leq \frac{9 x^{2} - 6 x + 1}{4}

2 (5 x^{2} - 6 x + 5) \leq 9 x^{2} - 6 x + 1

10 x^{2} - 12 x + 10 \leq 9 x^{2} - 6 x + 1

x^{2} - 6 x + 9 \leq 0

При переносе налево по степеням: x² (10 − 9 = 1), x (−12 − (−6) = −6), свободный (10 − 1 = 9). Получаем x² − 6x + 9.

шаг 3.Решаем (x − 3)² ≤ 0

Узнаём полный квадрат: x² − 6x + 9 = x² − 2·x·3 + 3² = (x − 3)² (формула a² − 2ab + b² = (a − b)²). Квадрат любого выражения ≥ 0, поэтому (x − 3)² ≤ 0 возможно только при равенстве: x − 3 = 0.

x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = {(x - 3)}^{2}

{(x - 3)}^{2} \leq 0

{(x - 3)}^{2} = 0

x - 3 = 0

x = 3

Проверка: (3 − 3)² = 0 — равенство выполнено, нестрогое ≤ 0 удовлетворяется. Это единственная точка решения; для любого другого x неравенство нарушается ((x − 3)² > 0).

ответ

x = 3

$\frac{{(x - 1)}^{2} + 4 {(x + 1)}^{2}}{2} \leq \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{4}$