Задача 10150168 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{12 x^{2} - 31 x + 14}{4 x^{2} + 3 x - 1} \leq 0

шаг 1.Раскладываем числитель

Считаем дискриминант квадратного трёхчлена 12x² − 31x + 14.

12 x^{2} - 31 x + 14 = 0

D = {(- 31)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 14 = 961 - 672 = 289

x = \frac{31 \pm \sqrt{289}}{24} = \frac{31 \pm 17}{24} \begin{matrix} = 2 \\ = \frac{7}{12} \end{matrix}

12 x^{2} - 31 x + 14 = 12 (x - 2) (x - \frac{7}{12})

шаг 2.Раскладываем знаменатель

Считаем дискриминант 4x² + 3x − 1.

4 x^{2} + 3 x - 1 = 0

D = 3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1) = 9 + 16 = 25

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{- 3 \pm 5}{8} \begin{matrix} = \frac{1}{4} \\ = - 1 \end{matrix}

4 x^{2} + 3 x - 1 = 4 (x - \frac{1}{4}) (x + 1)

шаг 3.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

4 (x - \frac{1}{4}) (x + 1) \neq 0 ⟺ {\begin{matrix} x \neq \frac{1}{4} \\ x \neq - 1 \end{matrix}

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −1 (выколота — точка разрыва), 1/4 (выколота — точка разрыва), 7/12 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 2 (закрашена).

\frac{12 (x - 2) (x - \frac{7}{12})}{4 (x - \frac{1}{4}) (x + 1)} \leq 0

Пробная точка x = 10: (10 − 2)(120 − 7)/((40 − 1)(10 + 1)) = 8·113/(39·11) > 0, значит на (2; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя 7/12 и 2; точки разрыва −1 и 1/4 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- 1; \frac{1}{4}) \cup [\frac{7}{12}; 2]