Задача 10150167 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 2 x} + \frac{3 x + 2}{x + 1} \leq \frac{4 x - 1}{x}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели x² − 2x, x + 1 и x не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² − 2x = x(x − 2) — получаем три различных нуля знаменателей: −1, 0, 2.

ОДЗ

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

{\begin{matrix} x (x - 2) \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{matrix}

У первой дроби знаменатель — квадратный трёхчлен x² − 2x. У него общий множитель x, раскладывается как x(x − 2) и даёт два нуля: 0 и 2.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть налево. Общий знаменатель — x(x − 2)(x + 1).

\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x (x - 2)} + \frac{3 x + 2}{x + 1} - \frac{4 x - 1}{x} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

После приведения к общему знаменателю x(x − 2)(x + 1) числитель — сумма трёх произведений: первую дробь домножили на (x + 1), вторую — на x, третью — на (x − 2).

(x^{2} - 2 x + 2) (x + 1) + (3 x + 2) \cdot x (x - 2) - (4 x - 1) (x - 2) (x + 1) =

= (x^{3} - x^{2} + 2) + (3 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x) -

- (4 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 2) = (1 + 3 - 4) x^{3} + (- 1 - 4 + 5) x^{2} +

+ (- 4 + 7) x + (2 - 2) = 3 x

\frac{3 x}{x (x - 2) (x + 1)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корень числителя 3x: только 0. Корни знаменателя x(x − 2)(x + 1): 0, −1, 2. Точка x = 0 — общий ноль числителя и знаменателя: исключена ОДЗ и знак выражения через неё не меняется — рисуем петельку. Корни −1 и 2 — выколоты (точки разрыва знаменателя), других нулей числителя нет — закрашенных точек на оси не будет.

Пробная x = −2: 3/((−4)·(−1)) = 3/4 > 0 → знак «+» на (−∞; −1). Через петельку 0 знак не меняется, через корни −1 и 2 — чередуется.

ответ

x \in (- 1; 0) \cup (0; 2)