Задача 10150165 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} - 2 x - 2}{x^{2} - 2 x} + \frac{7 x - 19}{x - 3} \leq \frac{8 x + 1}{x}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели x² − 2x, x − 3 и x не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² − 2x = x(x − 2) — получаем три различных нуля знаменателей: 0, 2, 3.

ОДЗ

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

{\begin{matrix} x (x - 2) \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 2 \\ x \neq 3 \end{matrix}

У первой дроби знаменатель — квадратный трёхчлен x² − 2x. У него общий множитель x, раскладывается как x(x − 2) и даёт два нуля: 0 и 2.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть налево. Общий знаменатель — x(x − 2)(x − 3).

\frac{x^{2} - 2 x - 2}{x (x - 2)} + \frac{7 x - 19}{x - 3} - \frac{8 x + 1}{x} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

После приведения к общему знаменателю x(x − 2)(x − 3) числитель — сумма трёх произведений: первую дробь домножили на (x − 3), вторую — на x, третью — на (x − 2).

(x^{2} - 2 x - 2) (x - 3) + (7 x - 19) \cdot x (x - 2) - (8 x + 1) (x - 2) (x - 3) =

= (x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 6) + (7 x^{3} - 33 x^{2} + 38 x) -

- (8 x^{3} - 39 x^{2} + 43 x + 6) = (1 + 7 - 8) x^{3} + (- 5 - 33 + 39) x^{2} +

+ (4 + 38 - 43) x + (6 - 6) = x^{2} - x = x (x - 1)

\frac{x (x - 1)}{x (x - 2) (x - 3)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни числителя x(x − 1): 0 и 1. Корни знаменателя x(x − 2)(x − 3): 0, 2, 3. Точка x = 0 — общий ноль числителя и знаменателя: исключена ОДЗ и знак выражения через неё не меняется — рисуем петельку. Корень 1 — закрашен при нестрогом ≤ 0; 2 и 3 — выколоты (точки разрыва).

Пробная x = −1: 2/(−12) = −1/6 < 0 → знак «−» на (−∞; 0). Через петельку 0 знак не меняется, через корни 1, 2, 3 — чередуется.

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 1] \cup (2; 3)