шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели (x + 1)², (x − 1)², (x² − 1)² не должны обращаться в ноль. Все три зануляются при x = ±1.

шаг 2.Сворачиваем полные квадраты

В числителях левой части — полные квадраты по формуле a² ± 2ab + b² = (a ± b)². В знаменателе правой части — квадрат разложимого выражения: (x² − 1)² = ((x − 1)(x + 1))² = (x − 1)²(x + 1)². Это понадобится для общего знаменателя в следующем шаге.

Хитрость задачи: 2x² + x + 5 = (x − 2)(x − 1) + (x + 3)(x + 1). То есть числитель правой части = числителю левой. Фактически, под общим знаменателем слева стоит 2(a² + b²), а справа — (a + b)². Неравенство сворачивается до (a − b)² ≤ 0 — и ответ виден сразу. Но самостоятельно увидеть это сложно, поэтому идем через раскрытие скобок.

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть налево и приводим к общему знаменателю 2(x − 1)²(x + 1)². Первое слагаемое домножаем на 2(x − 1)², второе — на 2(x + 1)², третье уже с нужным знаменателем.

шаг 4.Раскрываем числитель

Корни 49x² + 14x + 1 ищем через распознавание полного квадрата: 49x² = (7x)², 1 = 1², а средний член +14x = +2·7x·1 — это формула a² + 2ab + b² = (a + b)² с a = 7x и b = 1.

шаг 5.Финальное неравенство

Числитель (7x + 1)² — квадрат, всегда ≥ 0. Знаменатель 2(x − 1)²(x + 1)² тоже всегда > 0. Отношение всегда ≥ 0 при любом x ∈ ОДЗ. Знак «≤» может быть выполнен только в одной ситуации — когда числитель = 0.

Проверка ОДЗ: −1/7 ≠ ±1, точка допустима. Дробь типа «(квадрат) ⁄ (квадрат) ≤ 0» — типичная ловушка задания 15: ответом будет либо пустое множество (если числитель ≠ 0 на ОДЗ), либо изолированные нули числителя.