Задача 10150160 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x \sqrt{8} - 7 x + 14 \sqrt{8} > 57

шаг 1.Группируем и выносим x

Переносим всё с x в левую часть, числовые слагаемые — в правую. Из левой части выносим x за скобки.

x \sqrt{8} - 7 x + 14 \sqrt{8} > 57

x \sqrt{8} - 7 x > 57 - 14 \sqrt{8}

x (\sqrt{8} - 7) > 57 - 14 \sqrt{8}

шаг 2.Делим на (√8 − 7) < 0 и упрощаем

7 = √49, а 49 > 8, значит √8 < 7 (под корнем меньшее число — корень меньше); коэффициент √8 − 7 ОТРИЦАТЕЛЕН — при делении знак неравенства меняется с > на <. Чтобы убрать иррациональность из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √8 + 7 — в знаменателе срабатывает формула разности квадратов.

x < \frac{57 - 14 \sqrt{8}}{\sqrt{8} - 7}

x < \frac{(57 - 14 \sqrt{8}) (\sqrt{8} + 7)}{(\sqrt{8} - 7) (\sqrt{8} + 7)}

x < \frac{(57 - 14 \sqrt{8}) (\sqrt{8} + 7)}{8 - 49}

x < \frac{(57 - 14 \sqrt{8}) (\sqrt{8} + 7)}{- 41}

(57 - 14 \sqrt{8}) (\sqrt{8} + 7) = 57 \sqrt{8} + 399 - 14 \cdot 8 - 98 \sqrt{8} =

= (57 - 98) \sqrt{8} + (399 - 112) = - 41 \sqrt{8} + 287

x < \frac{- 41 \sqrt{8} + 287}{- 41} = \sqrt{8} - 7

Знаменатель (√8 − 7)(√8 + 7) = (√8)² − 7² = 8 − 49 = −41 — иррациональность из знаменателя ушла, остаётся целое число.

шаг 3.Записываем ответ

Линейное условие x < √8 − 7 — отвечает левой полупрямой с выколотой границей (строгое неравенство).

При x → −∞ выражение x(√8 − 7) → +∞ (коэффициент отрицателен, x отрицателен — произведение растёт), и левее границы знак исходного неравенства больше 57. Решение — слева от границы.

ответ

x \in (- \infty; \sqrt{8} - 7)

$x \sqrt{6} - 2 x + 10 > 4 \sqrt{6}$