Задача 10150159 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² − 5x = x(x − 5). Корни x² − 5x + 2 находим через дискриминант.

ОДЗ

x^{2} - 5 x + 2 = 0

D = 5^{2} - 4 \cdot 2 = 25 - 8 = 17

x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}

{\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 2 \neq 0 \\ x (x - 5) \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} \\ x \neq 0 \\ x \neq 5 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

В обоих знаменателях встречается одно и то же подвыражение x² − 5x. Положим t = x² − 5x. Тогда x² − 5x + 2 = t + 2, x² − 5x − 2 = t − 2, x² − 5x + 16 = t + 16, и неравенство переписывается в t.

t = x^{2} - 5 x

\frac{t - 2}{t + 2} + \frac{t + 16}{t} \leq 0

шаг 3.Решаем неравенство относительно t

Общий знаменатель — t(t + 2). Раскрываем числитель, приводим подобные и узнаём в нём полный квадрат.

\frac{(t - 2) \cdot t + (t + 16) (t + 2)}{t (t + 2)} \leq 0

\frac{(t^{2} - 2 t) + (t^{2} + 18 t + 32)}{t (t + 2)} \leq 0

\frac{2 t^{2} + 16 t + 32}{t (t + 2)} \leq 0

\frac{2 (t^{2} + 8 t + 16)}{t (t + 2)} \leq 0

\frac{2 (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 4 + 4^{2})}{t (t + 2)} \leq 0

\frac{2 {(t + 4)}^{2}}{t (t + 2)} \leq 0

Узнаём полный квадрат: t² + 8t + 16 = t² + 2·t·4 + 4² = (t + 4)² (формула a² + 2ab + b² = (a + b)²).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни в порядке возрастания: −4 (закрашена — корень числителя кратности 2, петелька), −2 (выколота — точка разрыва), 0 (выколота — точка разрыва). Неравенство нестрогое (≤ 0): значения, в которых дробь равна нулю, входят в решение.

Пробная точка t = −1 на интервале (−2; 0): (−1 + 4)² / ((−1)·(−1 + 2)) = 9 / (−1) < 0, значит знак «−». Корень −4 чётной кратности — знак при переходе через эту точку не меняется (петелька). Решение ≤ 0: интервал со знаком «−» вместе с самой точкой t = −4, где числитель обращается в ноль. Получаем t = −4 или t ∈ (−2; 0).

шаг 5.Обратная замена — ветка t ∈ (−2; 0)

Двойное неравенство −2 < x² − 5x < 0 распадается на систему двух условий через И — обе части должны выполняться одновременно. Решаем каждое неравенство отдельно, потом пересекаем зоны и получаем ответ для этой ветки.

t \in (- 2; 0) : - 2 < x^{2} - 5 x < 0

{\begin{matrix} x^{2} - 5 x > - 2 \\ x^{2} - 5 x < 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 2 > 0 \\ x (x - 5) < 0 \end{matrix}

x^{2} - 5 x + 2 = 0

D = 5^{2} - 4 \cdot 2 = 17

x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}

x (x - 5) = 0 ⟺ x = 0, x = 5

x \in (0; \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}; 5)

Численные приближения: (5 − √17)/2 ≈ 0,44, (5 + √17)/2 ≈ 4,56. Эти иррациональные границы — корни знаменателя «x² − 5x + 2», уже выколочены ОДЗ; границы 0 и 5 — корни «x(x − 5)», тоже выколоты ОДЗ. На пересечении все четыре точки остаются выколотыми.

шаг 6.Объединение веток

Для t = −4 воспользуемся теоремой Виета (произведение 4, сумма 5). Объединяем оба набора x в финальный ответ.

t = - 4 : x^{2} - 5 x = - 4

(x - 1) (x - 4) = 0

x \in {1; 4}

t \in (- 2; 0) :

x \in (0; \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}; 5)

Петелька t = −4 из шага 4 даёт после обратной замены изолированные точки x = 1 и x = 4 — нестрогое ≤ 0 включает значения, где числитель равен нулю.

условие