Задача 10150148 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x \sqrt{6} - 2 x + 10 > 4 \sqrt{6}

шаг 1.Группируем и выносим x

Переносим всё со множителем x в левую часть, числовые слагаемые — в правую. Из левой части выносим x за скобки, из правой — общий множитель 2.

x \sqrt{6} - 2 x + 10 > 4 \sqrt{6}

x \sqrt{6} - 2 x > 4 \sqrt{6} - 10

x (\sqrt{6} - 2) > 2 (2 \sqrt{6} - 5)

шаг 2.Делим на (√6 − 2) и упрощаем

2 = √4, а 4 < 6, значит √6 > 2 (под корнем большее число — корень больше); коэффициент √6 − 2 положителен, знак неравенства сохраняется. Чтобы убрать иррациональность из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √6 + 2 — в знаменателе срабатывает формула разности квадратов.

x > \frac{2 (2 \sqrt{6} - 5)}{\sqrt{6} - 2}

x > \frac{2 (2 \sqrt{6} - 5) (\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6} - 2) (\sqrt{6} + 2)}

x > \frac{2 (2 \sqrt{6} - 5) (\sqrt{6} + 2)}{{(\sqrt{6})}^{2} - 2^{2}}

x > \frac{2 (2 \sqrt{6} - 5) (\sqrt{6} + 2)}{6 - 4}

x > (2 \sqrt{6} - 5) (\sqrt{6} + 2)

(2 \sqrt{6} - 5) (\sqrt{6} + 2) = 2 \cdot 6 + 4 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} - 10 =

= 12 - 10 - \sqrt{6} = 2 - \sqrt{6}

x > 2 - \sqrt{6}

В знаменателе работает формула разности квадратов (√6 − 2)(√6 + 2) = (√6)² − 2² = 6 − 4 = 2 — она снимает иррациональность из знаменателя; числовой множитель 2 затем сокращается.

шаг 3.Записываем ответ

Получили линейное условие x > 2 − √6 — отвечает правой полупрямой с выколотой границей (строгое неравенство).

Граница 2 − √6 выколота: строгое неравенство x > 2 − √6 саму точку не включает.

ответ

x \in (2 - \sqrt{6}; + \infty)

$x \sqrt{8} - 7 x + 14 \sqrt{8} > 57$