условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
Корни x² − x − 2 устно по теореме Виета: произведение −2, сумма 1 → 2 и −1.
шаг 2.Сокращаем первую дробь
В числителе первой дроби 2x⁴ + 4x³ + 2x² = 2x²(x² + 2x + 1) = 2x²(x + 1)² (полный квадрат). Сокращается множитель (x + 1).
Сокращение (x + 1) допустимо: x = −1 уже исключено ОДЗ как корень знаменателя, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.
шаг 3.Сводим к одной дроби
У обеих дробей общий знаменатель (x − 2). Объединяем числители, переносим 1 направо.
шаг 4.Раскладываем числитель
Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не работает (общего множителя у пар не возникает), поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена −6, то есть ±1, ±2, ±3, ±6. Подходит x = 1: P(1) = 1 + 3 + 2 − 6 = 0.
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он , деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
│ 1 3 2 −6 r=1 │ 1 4 6 0
— сносим ;
;
;
— остаток ноль.
Парабола x² + 4x + 6 ветвями вверх, без действительных корней — строго положительна. В методе интервалов её множитель знак не меняет.
шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Так как x² + 4x + 6 > 0 при всех x, знак упрощённого выражения определяется множителями (x − 1) и (x − 2). На оси «неравенство» работаем с (x−1)(x²+4x+6)/(x−2) — у неё всего две точки: 1 (закрашена, корень числителя, нестрогое ≥) и 2 (выколота, корень знаменателя). ОДЗ дополнительно выкалывает x = −1.
Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0² + 0 + 6)/(0 − 2) = (−1)·6/(−2) = 3 > 0, значит на (−∞; 1) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются вправо, шаблон «+ − +». Пересечение с ОДЗ дополнительно выкалывает точку x = −1, и интервал (−∞; 1] в финальный ответ приходит как (−∞; −1) ∪ (−1; 1].