условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
Корни x² + x − 6 устно по теореме Виета: произведение −6, сумма −1 → 2 и −3.
шаг 2.Сокращаем первую дробь
В числителе первой дроби 2x⁴ − 8x³ + 8x² = 2x²(x² − 4x + 4) = 2x²(x − 2)² (полный квадрат). Сокращается множитель (x − 2).
Сокращение (x − 2) допустимо: x = 2 уже исключено ОДЗ как корень знаменателя, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.
шаг 3.Сводим к одной дроби
У обеих дробей общий знаменатель (x + 3). Объединяем числители, переносим 1 направо.
шаг 4.Раскладываем числитель
Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не работает (общего множителя у пар не возникает), поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена 4, то есть ±1, ±2, ±4. Подходит x = −1 (P(1) = 4, а P(−1) = 0).
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он , деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
│ 1 −2 1 4 r=−1 │ 1 −3 4 0
— сносим ;
;
;
— остаток ноль.
Парабола x² − 3x + 4 ветвями вверх, без действительных корней — строго положительна. В методе интервалов её множитель знак не меняет.
шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Так как x² − 3x + 4 > 0 при всех x, знак упрощённого выражения определяется множителями (x + 1) и (x + 3). На оси «неравенство» работаем с (x+1)(x²−3x+4)/(x+3) — у неё всего две точки: −3 (выколота, корень знаменателя) и −1 (закрашена, корень числителя, нестрогое ≥).
Пробная точка x = 0: (0 + 1)(0² − 0 + 4)/(0 + 3) = 1·4/3 = 4/3 > 0, значит на (−1; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево, шаблон «+ − +». Пересечение с ОДЗ дополнительно выкалывает точку x = 2, и интервал [−1; +∞) в финальный ответ приходит как [−1; 2) ∪ (2; +∞).