Задача 10150136 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} + 2 x - 4}{x + 3} + \frac{x^{2} + 5 x + 3}{x + 5} \leq 2 x - 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели x + 3 и x + 5 не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 3 \neq 0 \\ x + 5 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 3 \\ x \neq - 5 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим 2x − 1 влево и приводим к общему знаменателю (x + 3)(x + 5). Числитель раскрываем и приводим подобные — кубические и квадратичные члены полностью сокращаются.

\frac{x^{2} + 2 x - 4}{x + 3} + \frac{x^{2} + 5 x + 3}{x + 5} - (2 x - 1) \leq 0

\frac{(x^{2} + 2 x - 4) (x + 5) + (x^{2} + 5 x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x + 5)} - (2 x - 1) \leq 0

\frac{(x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 20) + (x^{3} + 8 x^{2} + 18 x + 9)}{(x + 3) (x + 5)} - (2 x - 1) \leq 0

\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 11}{(x + 3) (x + 5)} - (2 x - 1) \leq 0

\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 11 - (2 x - 1) (x + 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)} \leq 0

\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 11 - (2 x^{3} + 15 x^{2} + 22 x - 15)}{(x + 3) (x + 5)} \leq 0

\frac{2 x + 4}{(x + 3) (x + 5)} \leq 0

\frac{x + 2}{(x + 3) (x + 5)} \leq 0

шаг 3.Метод интервалов

Корень числителя −2 закрашен (нестрогое ≤ 0), точки разрыва −5 и −3 выколоты.

Пробная точка x = 0 на интервале (−2; +∞): подставляем в (x + 2)/((x + 3)(x + 5)) и получаем 2/(3·5) = 2/15 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем −2.

ответ

x \in (- \infty; - 5) \cup (- 3; - 2]

$\frac{x^{2} - 3 x - 5}{x - 4} + \frac{x^{2} - 6 x + 3}{x - 6} \leq 2 x + 1$