Задача 10150135 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} - 3 x - 5}{x - 4} + \frac{x^{2} - 6 x + 3}{x - 6} \leq 2 x + 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели x − 4 и x − 6 не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 4 \neq 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 4 \\ x \neq 6 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим 2x + 1 влево и приводим к общему знаменателю (x − 4)(x − 6). Числитель раскрываем и приводим подобные — кубические и квадратичные члены полностью сокращаются.

\frac{x^{2} - 3 x - 5}{x - 4} + \frac{x^{2} - 6 x + 3}{x - 6} - (2 x + 1) \leq 0

\frac{(x^{2} - 3 x - 5) (x - 6) + (x^{2} - 6 x + 3) (x - 4)}{(x - 4) (x - 6)} - (2 x + 1) \leq 0

\frac{(x^{3} - 9 x^{2} + 13 x + 30) + (x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 12)}{(x - 4) (x - 6)} - (2 x + 1) \leq 0

\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 40 x + 18}{(x - 4) (x - 6)} - (2 x + 1) \leq 0

\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 40 x + 18 - (2 x + 1) (x - 4) (x - 6)}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 40 x + 18 - (2 x^{3} - 19 x^{2} + 38 x + 24)}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

\frac{2 x - 6}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

\frac{x - 3}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

шаг 3.Метод интервалов

Корень числителя 3 закрашен (нестрогое ≤ 0), точки разрыва 4 и 6 выколоты.

Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 3): подставляем в (x − 3)/((x − 4)(x − 6)) и получаем (−3)/((−4)·(−6)) = −3/24 = −1/8 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются вправо. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с самим корнем 3.

ответ

x \in (- \infty; 3] \cup (4; 6)

$\frac{x^{2} + 2 x - 4}{x + 3} + \frac{x^{2} + 5 x + 3}{x + 5} \leq 2 x - 1$