условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели не должны обращаться в ноль.
Корни первого знаменателя 2x² + 5x + 2 — это −2 и −1/2 (через дискриминант).
шаг 2.Раскладываем числитель и знаменатель
Оба квадратных трёхчлена раскладываем через дискриминант.
Из ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) для −2x² + 19x + 10 получаем −2(x + 1/2)(x − 10). Двойку вносим в первую скобку, минус — во вторую: (2x + 1)(10 − x).
шаг 3.Сокращаем и сводим к одной дроби
Подставляем разложения, сокращаем общий множитель (2x + 1), переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x + 2).
Сокращение (2x + 1) допустимо: x = −1/2 уже исключено ОДЗ — корень не теряем, но он вернётся при пересечении с ОДЗ. Раскладываем x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) (группировкой: −3 = −1 + (−2), 2 = (−1)·(−2)).
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
В упрощённом неравенстве 4 точки: −2, 0, 1, 2. Корни числителя 1 и 2 закрашены (нестрогое ≥ 0), точки разрыва −2 и 0 выколоты. При пересечении с ОДЗ возвращается точка −1/2 (она сократилась в шаге 3) — её исходное выражение исключает.
Пробная точка x = 3 на интервале (2; +∞): подставляем в −2(x − 1)(x − 2)/(x(x + 2)) и получаем −2·2·1/(3·5) = −4/15 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку −1/2, разбивая интервал (−2; 0) на (−2; −1/2) ∪ (−1/2; 0).