условие
шаг 1.Область допустимых значений
Сворачиваем знаменатель в полный квадрат: x² − 2x + 1 = x² − 2·x·1 + 1² = (x − 1)². Знаменатель не должен обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
У обеих дробей общий знаменатель (x − 1)². Переносим всё влево. В числителе x³ + x² = x²(x + 1), и появляется общий множитель (x + 1).
4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3) — разность квадратов.
шаг 3.Метод интервалов
Корни в порядке возрастания: −3/2 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), −1 (закрашена), 1 (выколота — точка разрыва кратности 2, петелька), 3/2 (закрашена).
Пробная точка x = 0: (0 + 1)(0 − 3)(0 + 3)/(0 − 1)² = 1·(−3)·3/1 = −9 < 0, значит на (−3/2; −1) и далее знак чередуется. Корень знаменателя 1 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −3/2, −1, 3/2; точка разрыва 1 остаётся выколотой.