Задача 10150115 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x + \frac{11 x + 4}{x - 5} + \frac{x^{2} - 19 x - 48}{x^{2} - 8 x + 15} \geq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели обеих дробей не должны обращаться в ноль. Корни x²−8x+15 найдём в шаге 2.

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 5 \neq 0 \\ x^{2} - 8 x + 15 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 5 \\ x \neq 3 \end{matrix}

Дублирующее условие x ≠ 5 (оно есть и в первом знаменателе, и в корнях второго) выписываем один раз.

шаг 2.Раскладываем знаменатель

Квадратный трёхчлен в знаменателе второй дроби раскладываем через дискриминант.

x^{2} - 8 x + 15 = 0

D = 8^{2} - 4 \cdot 15 = 64 - 60 = 4

x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \begin{matrix} = 5 \\ = 3 \end{matrix}

x^{2} - 8 x + 15 = (x - 3) (x - 5)

шаг 3.Сводим к одной дроби

Подставляем разложение, переносим единицу влево (объединяем с x в множитель (x − 1)), приводим всё к общему знаменателю (x − 3)(x − 5) и упрощаем числитель.

x + \frac{11 x + 4}{x - 5} + \frac{x^{2} - 19 x - 48}{(x - 3) (x - 5)} \geq 1

(x - 1) + \frac{11 x + 4}{x - 5} + \frac{x^{2} - 19 x - 48}{(x - 3) (x - 5)} \geq 0

\frac{(x - 1) (x - 3) (x - 5) + (11 x + 4) (x - 3) + (x^{2} - 19 x - 48)}{(x - 3) (x - 5)} \geq 0

\frac{(x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15) + (11 x^{2} - 29 x - 12) + (x^{2} - 19 x - 48)}{(x - 3) (x - 5)} \geq 0

\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 25 x - 75}{(x - 3) (x - 5)} \geq 0

шаг 4.Раскладываем числитель и сокращаем

Группируем по парам: из x³ + 3x² выносим x², из −25x − 75 выносим −25. Появляется общий множитель (x + 3). Оставшееся x² − 25 — разность квадратов.

x^{3} + 3 x^{2} - 25 x - 75 = x^{2} (x + 3) - 25 (x + 3) =

= (x + 3) (x^{2} - 25) = (x + 3) (x - 5) (x + 5)

\frac{(x + 3) (x - 5) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)} \geq 0

\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 3} \geq 0

Сокращение (x − 5) допустимо: x = 5 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя −5 и −3 закрашены (нестрогое ≥ 0). Точка разрыва 3 выколота. Точка x = 5 не входит в упрощённое выражение, но при пересечении с ОДЗ исходного выражения возвращается как выколотая.

Пробная точка x = 10 на интервале (3; +∞): подставляем в (x+3)(x+5)/(x−3) и получаем (10+3)(10+5)/(10−3) = 13·15/7 = 195/7 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку 5.

ответ

x \in [- 5; - 3] \cup (3; 5) \cup (5; + \infty)