условие
шаг 1.Область допустимых значений
Перепишем дробь без отрицательных степеней: каждая (x + 5)⁻¹ становится 1/(x + 5). После этого видно все знаменатели, которые нельзя обращать в ноль.
Степень −1 «вытаскивает» (x + 5) в знаменатель, поэтому к стандартному условию знаменателя дроби добавляется ещё x + 5 ≠ 0. Из 4/(x + 5) = 1 получаем x + 5 = 4, то есть x = −1.
шаг 2.Делаем замену
Положим t = (x + 5)⁻¹. Тогда исходное неравенство переписывается как обычное дробно-рациональное относительно t.
Заодно −0,25 = −1/4 — удобнее для приведения к общему знаменателю.
шаг 3.Решаем неравенство относительно t
Переносим −1/4 влево, приводим к общему знаменателю 4(4t − 1) и упрощаем числитель. Поскольку числитель — положительная константа 11, дробь ≤ 0 равносильна тому, что знаменатель строго отрицателен.
Случай 4(4t − 1) = 0 (то есть t = 1/4) уже исключён ОДЗ — поэтому переход от ≤ 0 к строгому < 0 законен.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаем t = 1/(x + 5) и переписываем условие t < 1/4 относительно x. Сводим к одной дроби.
Знак «<» строгий — он автоматически исключает x = −1 (тогда числитель равен нулю) и x = −5 (тогда знаменатель равен нулю), то есть точно совпадает с ОДЗ.
шаг 5.Метод интервалов
Точки −5 и −1 выколоты: −5 — точка разрыва (знаменатель обращается в ноль), −1 — корень числителя, выколотый из-за строгого знака «<».
Пробная точка x = 0 на интервале (−1; +∞): подставляем в (−x−1)/(4(x+5)) и получаем (−0−1)/(4(0+5)) = −1/20 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением неравенства «<» будут интервалы со знаком «−».