условие
шаг 1.Область допустимых значений
Перепишем дробь без отрицательных степеней: каждая (x − 6)⁻¹ становится 1/(x − 6). После этого видно все знаменатели, которые нельзя обращать в ноль.
Степень −1 «вытаскивает» (x − 6) в знаменатель, поэтому к стандартному условию знаменателя дроби добавляется ещё x − 6 ≠ 0. Из 5/(x − 6) = 1 получаем x − 6 = 5, то есть x = 11.
шаг 2.Делаем замену
Положим t = (x − 6)⁻¹. Тогда исходное неравенство переписывается как обычное дробно-рациональное относительно t.
Заодно −0,2 = −1/5 — удобнее для приведения к общему знаменателю.
шаг 3.Решаем неравенство относительно t
Переносим −1/5 влево, приводим к общему знаменателю 5(5t − 1) и упрощаем числитель. Поскольку числитель — положительная константа 9, дробь ≤ 0 равносильна тому, что знаменатель строго отрицателен.
Случай 5(5t − 1) = 0 (то есть t = 1/5) уже исключён ОДЗ — поэтому переход от ≤ 0 к строгому < 0 законен.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаем t = 1/(x − 6) и переписываем условие t < 1/5 относительно x. Сводим к одной дроби.
Знак «<» строгий — он автоматически исключает x = 11 (тогда числитель равен нулю) и x = 6 (тогда знаменатель равен нулю), то есть точно совпадает с ОДЗ.
шаг 5.Метод интервалов
Точки 6 и 11 выколоты: 6 — точка разрыва (знаменатель обращается в ноль), 11 — корень числителя, выколотый из-за строгого знака «<».
Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 6): подставляем в (11−x)/(5(x−6)) и получаем (11−0)/(5(0−6)) = 11/(−30) < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются вправо. Решением неравенства «<» будут интервалы со знаком «−».