Задача 10150105 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{2} + 4 x + 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 12 x - 12}{x} \geq 2

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x \neq 0

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим 2 влево и приводим к общему знаменателю x.

x^{2} + 4 x + 1 - 2 - \frac{x^{3} + x^{2} + 12 x - 12}{x} \geq 0

x^{2} + 4 x - 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 12 x - 12}{x} \geq 0

\frac{x (x^{2} + 4 x - 1) - (x^{3} + x^{2} + 12 x - 12)}{x} \geq 0

\frac{x^{3} + 4 x^{2} - x - x^{3} - x^{2} - 12 x + 12}{x} \geq 0

\frac{3 x^{2} - 13 x + 12}{x} \geq 0

шаг 3.Корни числителя

Раскладываем квадратный трёхчлен 3x² − 13x + 12 через дискриминант.

3 x^{2} - 13 x + 12 = 0

D = {(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25

x = \frac{13 \pm 5}{6}

x_{1} = \frac{4}{3}, x_{2} = 3

3 x^{2} - 13 x + 12 = 3 (x - \frac{4}{3}) (x - 3) = (3 x - 4) (x - 3)

\frac{(3 x - 4) (x - 3)}{x} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 0 (выколота — точка разрыва), 4/3 (закрашена — корень числителя), 3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥).

Пробная точка x = 10: (3·10 − 4)(10 − 3)/10 = 26·7/10 > 0, значит на (3; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнями числителя 4/3 и 3; точка разрыва 0 остаётся выколотой.

ответ

x \in (0; \frac{4}{3}] \cup [3; + \infty)