Задача 10150104 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{2} - x + 3 - \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 1}{x} \leq 2

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x \neq 0

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим 2 влево и приводим к общему знаменателю x.

x^{2} - x + 3 - 2 - \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 1}{x} \leq 0

x^{2} - x + 1 - \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 1}{x} \leq 0

\frac{x (x^{2} - x + 1) - (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 1)}{x} \leq 0

\frac{x^{3} - x^{2} + x - x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 1}{x} \leq 0

\frac{- 5 x^{2} + 4 x + 1}{x} \leq 0

шаг 3.Корни числителя

Раскладываем квадратный трёхчлен −5x² + 4x + 1 через дискриминант с подставленным отрицательным a сразу.

- 5 x^{2} + 4 x + 1 = 0

D = 4^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 1 = 16 + 20 = 36

x = \frac{- 4 \pm 6}{- 10}

x_{1} = - \frac{1}{5}, x_{2} = 1

- 5 x^{2} + 4 x + 1 = - 5 (x + \frac{1}{5}) (x - 1) = - (5 x + 1) (x - 1)

\frac{- (5 x + 1) (x - 1)}{x} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −1/5 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 0 (выколота — точка разрыва), 1 (закрашена — корень числителя).

Пробная точка x = 10: −(5·10 + 1)(10 − 1)/10 = −51·9/10 < 0, значит на (1; +∞) знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −1/5 и 1; точка разрыва 0 остаётся выколотой.

ответ

x \in [- \frac{1}{5}; 0) \cup [1; + \infty)